経済学 統計学・計量経済学

簡単! 基礎からの統計学 3 確率

投稿日:2020年1月6日 更新日:

初めて統計学を学ぶ人向けに 基礎からの統計学 まとめノートを作っています。今日は 確率 について。

 

参考としているのは、「コア・テキスト統計学 新世社」 です。

 

 

こちらの本は基礎から丁寧に、そしてカラフルにわかりやすいのでお勧めです。

セットで、こちらの演習もあると、理解が含まります。

 

 

 

経済学部入学したての学部生から社会人の学び直しまでカバーするつもりです!
 



 

 

確立



確立 とは

 

確率の定義

 

事象:起こりうる結果のそれぞれ。コインであれば{表},{裏}

標本空間:起こりうる結果の全体。コインであれば、{表,裏}

確率:それぞれの事象がどの程度確からしいかを0から1で示したもの

 

根源事象:互いに背反んでこれ以上分解できない事象のこと。例えば、「サイコロを投げて偶数の目が出る」という事象は、{A2,A4,A6}の3つの事象があり、これらは{A2},{A4},{A6}に分解でき、これ以上分解できないため根源事象である。

 

 

古典的確率

根源事象がn個あり、それらが同様の確立で起こる場合、根源事象が起きる確率は1/n

また、興味がある事象が起きる確率は、K*1/n

 

・古典的確率とは反対に、根源事象を数えきれない(連続型の確率変数)のケースがある。この時は公理的確率により求める(5章)

 

同時確率と加法定理

 

加法定理

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

 

 

条件付き確率

 

条件付き確率:その条件が起こった場合に問題としている事象がどのような確率で起きるかを考えること

 

条件付き確率

P(A│B)=P(A∩B)÷ P(B)

 
 



 

これを変形して

 

乗法定理

P(A∩B)=P(A│B)×P(B)



独立性

 

・2つの事象に対して、条件を付けてもつけなくても考えている事象が起きるか来るが変わらない場合、独立しているといえる

・この時、P(A│B)=P(A)

 

ベイズの定理



ベイズの定理は初めに分かっていた、条件付き確率P(B|A)から逆のP(A|B)を求める公理

 

・P(A),P(B|A),P(B|A^c)がそろっている条件下でベイズの定理を使うと、事象Bが起こった時の事象Aが起きる条件付き確率 P(A│B)が計算できる。

※P(A^c)はP(A)が起こらない確率

 

ベイズの定理

P(A|B) = P(B|A)*P(A) /{P(B|A)*P(A) + P(B|A^c)*P(A^c)}

 

・このベイズの定理は、逆の条件付き確率を求めるという目的以外に、ベイズの更新ルールとしても知られている。

・ベイズの更新ルールの例:例えば、P(A|B)の事象Bを「ある情報」だとする。すると、P(A|B)は「情報Bをもらった場合に行動Aを取る確率」となる。さらに、P(A)は「情報Bをもらっていない状況でのAを行う確率」と考えられる。つまり、情報がない状況ではP(A)の確立だが、情報をもらうとP(A|B)として行動を更新している。こうしたP(A)を事前確率・P(A|B)を事後確率と呼ぶ。

 

数学公式

 

ここは高校数学につき省略します。

以下のリンク参照

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/permutation.html

 
 



 

結構忘れてる(笑)

懐かしい。

 

確率変数とは

 

確率変数の定義

 

・コイン投げの場合なら、{表},{裏}の2つの根源事象から標本空間は構成されている

・この根源事象は数値ではないが、「0から1を取る変数X」を考えることができる

つまり、表なら1、裏なら0という風にXを値としておくことができる

 

・このように元の事象と確立に応じて、数値のとる変数として定義されたXのことを確率変数と呼ぶ

・確率変数が、有限個あるいは可算無限個の場合は離散確率変数、連続的に値を取ることが可能な場合、連続確率変数と呼ぶ。それぞれ4章、5章

 

 

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