経済学 統計学・計量経済学

簡単! 基礎からの統計学 4 離散確率変数 とその分布

投稿日:2020年1月7日 更新日:

初めて統計学を学ぶ人向けに 基礎からの統計学 まとめノートを作っています。今日は 離散確率変数 について。

 

参考としているのは、「コア・テキスト統計学 新世社」 です。

 

 

こちらの本は基礎から丁寧に、そしてカラフルにわかりやすいのでお勧めです。

セットで、こちらの演習もあると、理解が含まります。

 

 

 
 



 

経済学部入学したての学部生から社会人の学び直しまでカバーするつもりです!

 

離散確率変数



離散確率変数

 

確率関数

 

・離散確率変数とは、確率変数が有限個である時の変数

・サイコロの例で、離散確率変数がとりうる値は、X=1,2,3,4,5,6 いずれも確率は1/6

・横軸に確率変数、縦軸に確率を表したものが確率関数

 

 

・離散確率変数の場合、それらすべての確立の総和は1になる

 

確率変数の分布

 

・確率関数の中でも重要なものに累積分布関数、または分布関数と呼ばれるものがある(↓右の図)

 

 

・確率関数と累積分布関数は確率変数がどのような値をどのような確率で取るのか教えてくれる

・同様に、確率変数がどのように分布しているかを教えてくれる

 

確率変数の代表値・期待値

 

確率変数の平均値期待値として定義される

 

・ミクロ経済などではこれを応用して、期待効用を扱う(省略)
 



 

 

複数の離散確率変数

 

同時確率関数・周辺確率関数

 

・例:日本と米国の株式相場について、X=(上昇,変化なし,下落)を(1,0,-1)と表す。Yも同様。

この時日本は下落、米国が上昇をP(X=-1,Y=1)と表せる

このXが-1となり同時に、Yが1となる確率を同時確率と呼ぶ

 

同時確率関数と周辺関数の関係 Y
-1 0 1 行和
X -1 px,y(-1,-1) px,y(-1,0) px,y(-1,1) px(-1)
0 px,y(0,-1) px,y(0,0) px,y(0,1) px(0)
1 px,y(1,-1) px,y(1,0) px,y(1,1) px(1)
列和 py(-1) py(0) py(1) 1

 

・上で、列和・行和の部分を周辺確率関数と呼ぶ

 

共分散・相関係数

 

共分散:複数の確率変数がある場合に、それらの関係がどうなっているかを見ることができる

 

離散確率変数の共分散

・Xがm個の値xiを取る
・Yがn個の値yjを取る
・確率はpx,y(xi,yj)で与えられる

この時に、2つの関係の強さを表す共分散は以下のように定義される

Cov[X,Y]
=E[(X-E[X])*(Y-E[Y])]
=E[XY] – E[X]*E[Y]

ただし、
E[X]=Σxi*px(xi)
E[Y]=Σyj*py(yj)
E[XY]=ΣΣxiyj*px,y(xi,yj)

 

・この共分散Cov[X,Y]はお互いの関係の強さを表すが、共分散から単位の影響を排除するために相関係数が使われる

 

離散確率変数の相関係数

px,y=Cov[X,Y] / (√V[X])*(√V[Y])

ただし、X,Yそれぞれの分散をV[X],V[Y]とする

 

・この相関係数は-1~1を取る
 



 

 

独立性

 

・すべての事象A・Bに対して、P(A∩B)=P(A)×P(B) が成立するとき、事象A,Bは独立しているといえる

 

・そのため、px,y(xi,yj)=px(xi)×py(yj) の時、XとYはそれぞれ独立して分布していると呼ばれる

 

条件付き確率・条件付き期待値

 

・基本的に前章で見た条件付き確率を確率変数に置きなおせばよい

 

 

条件付き確率(前回の復習)

P(A│B)=P(A∩B)÷ P(B)

 

これから

 

 

条件付き確率関数

Px(xi│yj)=Px,y(xi,yj)÷ Py(yj)

 

 

条件付き期待値

E[X|Y=yj] = Σxi*px(xi|yj)

 

期待値の計算ルール

 

割愛。

数式が多く書くのがしんどいの分量なのであとで

 

代表的な離散確率変数

 

ベルヌーイ分布

 

ベルヌーイ試行:試行の結果が2種類しかなく、各試行は互いに独立で、各試行の確率分布が同じ試行をベルヌーイ試行と呼ぶ。(コインとか)

 

・ベルヌーイ試行の結果を確率変数Xと対応させたときに、その確率変数Xはベルヌーイ分布に従っているという

 

・ベルヌーイ分布に従う確率変数の分布・期待値・分散についてみていく

 

分布

確率関数 Px(0) = 1-p , Px(1)=p のとき,

分布関数 FX(x) = 0(x<0),1-p(0≦x<1),p(1≦x)

 

期待値

E[X] = 0*px(0) + 1*px(1) = P

 

分散

V[X] = (0 – E[x])^2 * px(0) + (1 – E[X])^2*px(1)
=(1-p)p

 

ここでは1回のコインの思考の確率変数を考えたが、例えば「100回のコイン名での試行中何回表が出るか」という事象では、二項分布が役に立つ
 



 

 

二項分布

 

・「成功確率がpのベルヌーイ試行を100回行う場合、90回以上成功する確率はどの程度か」を考える

 

二項分布

・独立なベルヌーイ試行をn回実施するとき、成功する回数を確率変数Xとする。

・この時にx回成功し、(n-x)回失敗するので、その確率は

(P^x )*{ (1-p)^(n-x)} …①

 

①以外にもx回成功する場合はあるので、それは nCx (組み合わせ)で求められる

よって、

px(x) = nCx*(P^x )* {(1-p)^(n-x)} …②

 

 

二項確率変数:上記のように、独立なベルヌーイ試行をn回行ったとき、そのn回の試行中成功する回数である確率変数Xを指す

二項分布:その分布を二項分布と呼ぶ

 

・二項分布は記号としてB(n,p)と略記される

・この二項分布はnとpで特徴づけられているため、この特徴づけているものを母数、あるいはパラメータと呼ぶ

 

ポアソン分布

 

ポアソン分布は二項分布と同様に離散的な確率変数の分布だが、確率が非常に小さい時に適用される分布

 

ポアソン分布

確率変数Xの取りうる値が離散的で0以上の整数のとき

px(x) = (μ^x)*{e^(-μ)} / x!

 

またこの時の期待値と分散はいずれもμになる

E[X]=μ

V[X]=μ

 

ただし、eは自然対数の底

 

 

 

-経済学, 統計学・計量経済学

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