初めて統計学を学ぶ人向けに 基礎からの統計学 まとめノートを作っています。今日は 連続確率変数 について。
参考としているのは、「コア・テキスト統計学 新世社」 です。
こちらの本は基礎から丁寧に、そしてカラフルにわかりやすいのでお勧めです。
セットで、こちらの演習もあると、理解が含まります。
経済学部入学したての学部生から社会人の学び直しまでカバーするつもりです！
連続確率変数
連続確率変数
・１と２の間には無数の小数点以下の数字があるため、それらを全部対象にできない。そのため、連続確率変数では特定の1点を取る確率をゼロとし、確率は区間で定義する。
確率密度関数・累積分布関数
例えば、以下の条件で説明する。
閉区間[0,1]を連続確率変数Xがとりうる範囲とする
Xが同じ長さの区間に入る確率は同じとする
すると、P(X＜0)=0,P(1<X)=0 となり また、P(0≦X≦1)=1 となる。
この時に、長さ0.5の区間に確率変数Xが入る確率は
P(0≦X≦0.5)+P(0.5≦X≦1)=1 となり、長さは等しいので確率は0.5となる。
同様に、0.1の時もP(0≦X≦0.1)=0.1,P(0.1≦X≦1)=0.9 となる。
・従って、
確率は P(0≦X≦c)=c と導ける
分布関数
P(a≦ X ≦ b) = P(a < X ≦ b) = P(X≦b) – P(X≦a) = F(b) – F(a)
確率密度関数の積分
F(x) = -∞∫x f(w)dw
※連続確率変数では確率を範囲で取り、確率密度関数でとるが、確率密度関数は確率ではないことに注意
期待値・分散
・確率密度関数から以下のようになる
期待値
E[X] = -∞∫∞ xf(x)dx
分散
V[X] = E [(x-μ)^2] = -∞∫∞ (x-μ)^2 f(x)dx
複数の連続確率変数
同時分布・周辺分布
同時分布関数
Fx,y(x,y) = P(X<x, Y<y)
これより
同時確率密度関数
ｆx,y(x,y) =∂^2/∂x*∂y Fx,y(xy)
※ ∂（ラウンド）は偏微分の記号
共分散・相関係数
割愛
独立性・条件付き確率・条件付き期待値
割愛
この辺は演習でやろう。ずっと数学で疲れた（笑）
ファイナンスでの応用例
投資収益率・リスク
・期待収益率：100円投資して110円になっていれば、0.1
・期待収益率は期待値E[X]で表される
・投資は収益と同様に損失も起こる。そのばらつきをリスクと呼ぶ
・リスクは分散に等しい。分散の正の平方根である標準偏差をボラリティと呼び、√V[X] で表す。
ポートフォリオ
・ポートフォリオ：複数の資産の組み合わせ
・これより、
手持ちの資金（100×α）％を収益率がXとなる資産へ
残りの資金（100×(1-α)）％を収益率がYとなる資産へ投資する
この時の収益率Zは
Z＝α*X + (1-α)*Y …①
このX、Yも確率変数なので、期待値E[Z],標準偏差V[Z]は①より以下の通り
E[Z] = E[α*X + (1-α)*Y]
√V[Z] = √{α^2*σ^2*x + 2α（1-α）σx*σyp+(1-α)^2*σ^2*y}
代表的な連続確率変数
正規分布
・正規分布：左右対称な分布
