経済学 統計学・計量経済学

簡単! 基礎からの統計学 5 連続確率変数 とその分布

投稿日:2020年1月8日 更新日:

初めて統計学を学ぶ人向けに 基礎からの統計学 まとめノートを作っています。今日は 連続確率変数 について。

 

参考としているのは、「コア・テキスト統計学 新世社」 です。

 

 

こちらの本は基礎から丁寧に、そしてカラフルにわかりやすいのでお勧めです。

セットで、こちらの演習もあると、理解が含まります。

 

 

 
 



 

経済学部入学したての学部生から社会人の学び直しまでカバーするつもりです!

 

連続確率変数



連続確率変数

 

・1と2の間には無数の小数点以下の数字があるため、それらを全部対象にできない。そのため、連続確率変数では特定の1点を取る確率をゼロとし、確率は区間で定義する

 

確率密度関数・累積分布関数

 

例えば、以下の条件で説明する。

閉区間[0,1]を連続確率変数Xがとりうる範囲とする
Xが同じ長さの区間に入る確率は同じとする

すると、P(X<0)=0,P(1<X)=0 となり また、P(0≦X≦1)=1 となる。

この時に、長さ0.5の区間に確率変数Xが入る確率は

P(0≦X≦0.5)+P(0.5≦X≦1)=1 となり、長さは等しいので確率は0.5となる。

同様に、0.1の時もP(0≦X≦0.1)=0.1,P(0.1≦X≦1)=0.9 となる。

 

・従って、

確率は P(0≦X≦c)=c と導ける

 

分布関数

P(a≦ X ≦ b) = P(a < X ≦ b) = P(X≦b) – P(X≦a) = F(b) – F(a)

 

確率密度関数の積分

F(x) = -∞∫x f(w)dw

 

※連続確率変数では確率を範囲で取り、確率密度関数でとるが、確率密度関数は確率ではないことに注意

 

 
 



 

 

期待値・分散

 

・確率密度関数から以下のようになる

 

期待値

E[X] = -∞∫∞ xf(x)dx

 

分散

V[X] = E [(x-μ)^2] = -∞∫∞ (x-μ)^2 f(x)dx

 

複数の連続確率変数

 

同時分布・周辺分布

 

同時分布関数

Fx,y(x,y) = P(X<x, Y<y)

 

これより

 

同時確率密度関数

fx,y(x,y) =∂^2/∂x*∂y Fx,y(xy)

 

※ ∂(ラウンド)は偏微分の記号
 



 

 

共分散・相関係数

 

割愛

 

独立性・条件付き確率・条件付き期待値

 

割愛

 

この辺は演習でやろう。ずっと数学で疲れた(笑)

 

ファイナンスでの応用例

 

投資収益率・リスク

 

期待収益率:100円投資して110円になっていれば、0.1

・期待収益率は期待値E[X]で表される

 

・投資は収益と同様に損失も起こる。そのばらつきをリスクと呼ぶ

・リスクは分散に等しい。分散の正の平方根である標準偏差をボラリティと呼び、√V[X] で表す。

 

ポートフォリオ

 

ポートフォリオ:複数の資産の組み合わせ

 

・これより、

手持ちの資金(100×α)%を収益率がXとなる資産へ

残りの資金(100×(1-α))%を収益率がYとなる資産へ投資する

この時の収益率Zは

Z=α*X + (1-α)*Y …①

このX、Yも確率変数なので、期待値E[Z],標準偏差V[Z]は①より以下の通り

E[Z] = E[α*X + (1-α)*Y]

√V[Z] = √{α^2*σ^2*x + 2α(1-α)σx*σyp+(1-α)^2*σ^2*y}

 

代表的な連続確率変数

 

正規分布

 

正規分布:左右対称な分布
 



 

 

 

 

 

 

-経済学, 統計学・計量経済学

執筆者:


comment

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

関連記事